Algebraiske uttrykk

Algebraiske uttrykk er kombinasjonen av bokstaver, tegn og tall i matematiske operasjoner . Vanligvis representerer bokstavene ukjente mengder og kalles variabler eller ukjente. Algebraiske uttrykk lar oss oversette matematiske språkuttrykk fra det vanlige språket. Algebraiske uttrykk oppstår fra plikten til å oversette ukjente verdier til tall, som, som vi påpekte før, er representert med bokstaver. Matematikkens gren som er ansvarlig for studiet av disse uttrykk der tall og bokstaver vises, samt tegn på matematiske operasjoner, er Algebra.

Algebraiske uttrykk

Hva er algebraiske uttrykk

Som nevnt tidligere er disse operasjonene ikke annet enn kombinasjonen av bokstaver, tall og tegn som senere blir brukt i forskjellige matematiske operasjoner. I algebraiske uttrykk har bokstaver oppførsel av tall, og når de tar det kurset, brukes mellom en og to bokstaver. Uansett hvilket uttrykk du har, er det første du må gjøre å forenkle. Dette oppnås ved å bruke egenskapene til operasjonen (e), som tilsvarer de numeriske egenskapene. For å finne den numeriske verdien av en algebraisk operasjon, må bokstaven erstattes av et visst tall.

Mange øvelser kan gjøres på disse uttrykkene og vil bli gjort i dette avsnittet for å forbedre forståelsen av emnet det gjelder. Eksempler på algebraiske uttrykk:

  • (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)

    X + 5 + 4X + 5 / X + 2

    5X + 10 / X + 2

    5 (X + 2) / X + 2

    5

  • (3 / X + 1) - (1 / X + 2)

    3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)

    2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2

Algebraisk språk

Algebra er den delen av matematikk som studerer forholdet mellom tall, bokstaver og tegn. Derfor er algebraisk språk som bruker symboler og bokstaver for å representere tall. Dette språket dukket opp i den muslimske sivilisasjonen i AL-Khwarizimi-perioden i løpet av middelalderen. Dets viktigste funksjon er å etablere og strukturere et språk som hjelper til å generalisere de forskjellige operasjonene som foregår innenfor aritmetikk der bare tall og deres elementære aritmetiske operasjoner forekommer (+ -x%).

Denne typen språk ble først introdusert av den franske matematikeren François Vieth, som regnes som algebraens far uttrykt i ord. Algebraisk språk tar sikte på å etablere og designe et språk som hjelper til å generalisere de forskjellige operasjonene som foregår innen aritmetikk, der bare tall og deres grunnleggende matematiske operasjoner brukes: addisjon (+), subtraksjon (-), multiplikasjon (x) og inndeling (/).

Det algebraiske språket er preget av dets presisjon, siden det er mye mer konkret enn det numeriske språket. Gjennom det kan uttalelser uttrykkes kort. Eksempel: settet med multipler av 3 er (3, 6, 9, 12 ...) uttrykkes 3n der n = (1, 2, 3, 4 ...).

Lar deg uttrykke ukjente tall og utføre matematiske operasjoner på dem . Eksempel: summen av to tall er uttrykt slik: a + b. Støtter uttrykk for relasjoner og generelle numeriske egenskaper. Eksempel: den kommutative egenskapen er uttrykt slik: axb = bxa . Når du skriver med dette språket, kan ukjente mengder manipuleres med enkle symboler for å skrive, noe som gjør det mulig å forenkle teoremer, formulering av ligninger og ulikheter og studere hvordan du kan løse dem.

«> Laster inn ...

På den annen side er en algebraisk en som representerer et sett med tall og bokstaver som er kombinert med tegnene på aritmetiske operasjoner og består av koeffisienter, eksponenter og base. Eksempel: 7 × 4. Hvor 7 er koeffisienten, er x basen og 4 er den tidligere numeriske høyttaleren . Koeffisienten representerer den numeriske mengden eller bokstaven som er plassert til venstre for basen, og indikerer antall ganger basen må legges til eller trekkes av, avhengig av skiltet den har. Eksempel: 7 × 4 = x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4

Den numeriske eksponenten er mengden som er plassert øverst til høyre på basen, og indikerer antall ganger basen blir tatt som et produkt. Eksempel: 2 × 3 = 2 (x) (x) (x) . Den numeriske verdien for en algebraisk operasjon er det tallet som stammer, etter å ha byttet ut bokstavene for tall, for å fortsette de angitte operasjonene.

Algebraiske tegn og symboler

I algebra brukes både symboler og tegn i settteori, og disse utgjør eller representerer ligninger, serier, matriser, etc. Brev uttrykkes eller navngis som variabler, siden den samme bokstaven brukes i andre problemer og verdien finner forskjellige variabler. Noen av klassifiseringen algebraiske uttrykk inkluderer:

uttrykket bruk
C eller K.De brukes konstant.
A, B, C.De brukes til å gi uttrykk for de mest kjente mengdene i algebra.
X, Y, Z.De brukes til å uttrykke de ukjente i matematiske operasjoner.
N.Det gir uttrykk for hvilket som helst tall.
>Større enn.
<Mindre enn.
Større enn eller lik.
Mindre enn eller lik.
=Like - likestilling.
Ikke lik
Ja, bare ja.

Algebraiske fraksjoner

En algebraisk fraksjon er den som er representert ved kvotienten av to polynomer som viser en oppførsel som ligner numeriske brøk. I matte kan vi operere på slike brøker ved å gjøre multiplikasjon og deling. Derfor må vi uttrykke at den algebraiske fraksjonen er representert med kvotienten av to algebraiske uttrykk der telleren er utbyttet og nevneren er divisoren.

Blant egenskapene til algebraiske fraksjoner kan vi fremheve at hvis nevneren er delt eller multiplisert med samme mengde annet enn null, vil ikke brøken bli endret.

Forenklingen av en algebraisk brøk består av å transformere den til en brøk som ikke lenger kan reduseres, noe som er nødvendig for å faktorere polynomene som utgjør telleren og nevneren.

Vi kan klassifisere disse brøkene i følgende typer: ekvivalent, enkel, riktig, feilaktig, sammensatt av teller eller nullnevner. Så får vi se hver av dem.

ekvivalenter

Når korsproduktet er det samme, det vil si når brøkdelene av brøkene er de samme. For eksempel av disse to algebraiske fraksjonene: 2/5 og 4/10 vil være likeverdige hvis 2 * 10 = 5 * 4

enkel

De er de der telleren og nevneren representerer heltal rasjonelle uttrykk.

egen

Dette er enkle brøker der telleren er mindre enn nevneren.

uskikket

Dette er enkle brøker der telleren er lik eller større enn nevneren.

komponert

De er dannet av en eller flere brøker som kan være lokalisert i telleren, nevneren eller begge deler.

Null teller eller nevner

Det oppstår når verdien er 0. I tilfelle å ha en brøkdel 0/0 vil den være ubestemmelig.

Når du bruker algebraiske fraksjoner for å utføre matematiske operasjoner, må vi ta hensyn til noen kjennetegn ved operasjoner med numeriske brøk, for eksempel for å starte det minst vanlige multiplum må finnes når nevnerne har forskjellige siffer. I både inndeling og multiplikasjon utføres og utføres operasjoner akkurat som med numeriske brøk, siden disse bør forenkles på forhånd når det er mulig.

polynomer

Algebraiske uttrykk

Når vi snakker om polynom, henviser vi til en algebraisk operasjon av addisjon, subtraksjon og ordnet multiplikasjon laget av variabler, konstanter og eksponenter . I algebra kan et polynom ha mer enn én variabel (x, y, z), konstanter (heltall eller brøk), og eksponenter (som bare kan være positive heltall). Polynomier består av endelige vilkår. Hvert begrep er et uttrykk som inneholder ett eller flere av de tre elementene de er laget med: variabler, konstanter eller eksponenter. For eksempel: 9, 9x, 9xy er alle vilkår. En annen måte å identifisere begrep på er at de skilles ved addisjon og subtraksjon.

For å løse, forenkle, legge til eller trekke fra polynomier, må du matche begrepene med de samme variablene som for eksempel begrepene med x, begrepene med "y" og begrepene som ikke har variabler. Det er også viktig å se på tegnet før begrepet som avgjør om du vil legge til, trekke fra eller multiplisere. Begrep med de samme variablene er gruppert, lagt til eller trukket fra.

Typer polynomer

Antall betegnelser et polynom har vil indikere hvilken type polynom det er, for eksempel hvis det er et ensidig polynom, står du overfor et monomial . Et tydelig eksempel på dette er en av treningspolynomene (8xy) .

Det er også det to-term polynomet, som kalles binomialet og identifiseres ved følgende eksempel: 8xy - 2y.

Til slutt polynomet på tre begreper, som er kjent som trinomials og er identifisert av en av treningspolynomene til 8xy - 2y + 4 . Trinomials er en type algebraisk uttrykk dannet av summen eller forskjellen på tre termer eller monomials (lignende monomials)

Det er også viktig å snakke om graden av polynom, for hvis det er en enkelt variabel, er det den største eksponenten. Graden av et polynom med mer enn en variabel bestemmes av begrepet med den høyeste eksponenten. Det er også viktig å snakke om Taylor-polynomet, et teorem som ble utgitt på 1700-tallet av Brook Taylor, en innfødt matematiker fra Storbritannia, men den ble ikke oppdaget før slutten av forrige århundre av James Gregory, en matematiker og astronom fra Skottland.

Dens bruk i studien av en funksjon, polynomiske tilnærminger kan bli funnet i et miljø der de er differensiert, i tillegg brukes feilestimater.

Tilsetning og subtraksjon av polynomer

Tillegg av polynomer antyder å kombinere begreper. Lignende betegnelser refererer til monomer som har den samme variabelen, eller variabler hevet til samme kraft.

Det er forskjellige måter å beregne med polynomer, for eksempel kan summen av polynomer gjøres på to forskjellige måter: horisontalt og vertikalt .

  • Summen av polynomer i horisontalt brukes til å gjøre operasjoner horisontalt, verdt redundansen, men først skrives et polynom og deretter følges det på samme linje. Etter det skrives det andre polynomet for å bli lagt til eller trekke fra, og til slutt blir de lignende begrepene gruppert.
  • Den vertikale polynomiske sum oppnås derimot ved å skrive det første polynomet på en ordnet måte. Hvis det er ufullstendig, er det viktig å la hullene i manglende vilkår være fri. Deretter blir følgende polynom skrevet rett under det forrige, på denne måten vil uttrykket som ligner det ovenfor være nedenfor. Til slutt blir hver kolonne lagt til.

Det er viktig å legge til at for å legge til to polynomer, må koeffisientene til vilkårene av samme grad legges til. Resultatet av å legge til to begreper av samme grad, er et annet begrep med samme grad.

Hvis noe av noen av gradene mangler, kan det fullføres med 0. Og de bestilles vanligvis fra høyeste til laveste grad.

Som nevnt ovenfor, for å gjøre summen av to polynomer trenger du bare å legge til vilkårene i samme grad. Egenskapene til denne operasjonen består av:

  • Assosiative egenskaper, der summen av to polynomer løses ved å legge til koeffisientene som følger med x-ene som stiger til samme kraft.
  • Kommutativ eiendom, som endrer rekkefølgen på summen og resultatet kan ikke trekkes fra. Nøytrale elementer, som har alle deres koeffisienter lik 0. Når et polynom legges til det nøytrale elementet, er resultatet lik det første.
  • Til slutt den motsatte egenskapen. dannet av polynomet som har alle de omvendte koeffisientene til koeffisientene til det tilførte polynomet. således, når du utfører tilleggsoperasjonen, er resultatet nullpolynomet.

Når det gjelder subtraksjon av polynomer, (operasjoner med polynomer), er det viktig å gruppere monomer etter de egenskapene de besitter og å starte med forenklingen av de som var like. Operasjonen utføres ved å legge motsatt av subtraksjon til minuendelen.

En annen effektiv måte å fortsette med å trekke fra polynomer er å skrive det motsatte av hvert polynom under det andre. Dermed forblir lignende monomer i kolonnene og vi fortsetter å legge dem til. Uansett hvilken teknikk som blir utført, til slutt vil resultatet alltid være det samme, hvis det gjøres riktig.

Multiplikasjon av polynomer

Multiplikasjon av monomials eller øvelser mellom polynomials og monomials, er en operasjon som utføres for å finne det resulterende produktet, mellom et monomial (algebraisk uttrykk basert på multiplikasjon av et tall og en bokstav hevet til en hel og positiv eksponent) og en annen uttrykk, hvis dette er et uavhengig begrep, et annet monomalt eller til og med et polynom (begrenset sum av monomier og uavhengige vilkår). Som med nesten alle matematiske operasjoner, har imidlertid polynom multiplikasjon en serie trinn som må følges når du løser den foreslåtte operasjonen, som kan oppsummeres i følgende prosedyrer:

  • Det første trinnet som skal følges når man multipliserer et monomial med et annet uttrykk, er å multiplisere tegnene til hvert begrep.
  • Deretter blir verdiene på koeffisientene multiplisert og verdien som finnes i monomiene eller bokstavene som er mellom begrepene, tilskrives verdien som er funnet i denne multiplikasjonen.
  • De er oppført i alfabetisk rekkefølge.
  • Til slutt blir eksponentene som er lokalisert i bokstavene til den samme basen lagt til. Resultatet noteres med en eksponent for det tilsvarende resultatet.

Oppdeling av polynomer

Algebraiske uttrykk

Også kjent som Ruffini-metoden . Det lar oss dele et polynom med et binomial og lar oss også finne røttene til et polynom for å faktorere det i binomialer. Med andre ord, denne teknikken gjør det mulig å dele opp eller dekomponere et algebraisk polynom av grad n, i et algebraisk binomial og deretter i et annet algebraisk polynom av grad n-1. Og for at dette skal være mulig, er det nødvendig å kjenne eller kjenne minst en av røttene til det unike polynomet, for at separasjonen skal være nøyaktig.

Det er en effektiv teknikk for å dele et polynom med en binomial av formen x - r . Ruffinis regel er et spesielt tilfelle av syntetisk inndeling når deleren er en lineær faktor.

Ruffini-metoden ble beskrevet av den italienske matematikeren, professoren og legen Paolo Ruffini i 1804, som i tillegg til å oppfinne den berømte metoden kalt Ruffinis regel, som hjelper til med å finne koeffisientene til resultatet av fragmenteringen av et polynom av binomial; Han oppdaget og formulerte også denne teknikken på omtrentlig beregning av røttene til ligningene.

Som alltid, når det gjelder en algebraisk operasjon, impliserer Ruffinis regel en serie trinn som må følges for å nå ønsket resultat, i dette tilfellet: å finne kvoten og resten som ligger i inndelingen av enhver type polynom og en binomial av form x + r.

Først, når du starter operasjonen, må uttrykkene gjennomgås for å bekrefte eller avgjøre om de virkelig blir behandlet som polynomer og binomialer som svarer til formen som forventes av Ruffini Rule-metoden.

Når disse trinnene er bekreftet, fortsetter vi å bestille polynomet (i synkende rekkefølge). Etter dette trinnet er det bare koeffisientene for polynombetegnelsene (opp til det uavhengige) som blir tatt i betraktning, og plasser dem på rad fra venstre mot høyre. Noen mellomrom er igjen for de nødvendige vilkårene (bare i tilfelle en ufullstendig polynom). Bysskiltet er plassert på venstre side av raden, som består av koeffisienter for utdelingspolynomet.

På venstre side av byssa fortsetter vi å plassere den uavhengige betegnelsen på binomialen, som nå er en deler og dens tegn er omvendt. Det uavhengige multipliseres med den første koeffisienten til polynomet, og registrerer seg dermed på en andre rad under den første. Deretter trekkes den andre koeffisienten og produktet fra den monomiale uavhengige term ut av den første koeffisienten.

Den uavhengige termen til binomialen multipliseres med resultatet av den forrige subtraksjonen . Men også den er plassert i den andre raden, som tilsvarer den fjerde koeffisienten. Operasjonen gjentas til alle vilkårene er nådd. Den tredje raden som er oppnådd basert på disse multiplikasjonene, blir tatt som en kvotient, med unntak av den siste perioden, som vil bli betraktet som resten av divisjonen. Resultatet blir uttrykt, ledsaget av hver koeffisient for variabelen og dens tilsvarende grad, og begynner å uttrykke dem med en mindre grad enn de opprinnelig hadde.

1. Teorem for resten

Det er en praktisk metode som brukes til å dele opp et polynomialt P (x) av en annen hvis form er xa ; der bare verdien av resten oppnås. Følgende trinn følges for å anvende denne regelen. Skriv polynomet utbytte uten å fullføre eller bestille, og erstatt deretter variabelen x i utbyttet med den motsatte verdien av den uavhengige termen til divisoren. Og til slutt løses operasjonene kombinert.

Resten teorem er en metode som vi kan oppnå resten av en algebraisk inndeling, men der ingen inndeling er nødvendig .

Dette lar oss finne ut resten av delingen av et polynom p (x) av en annen av formen xa, for eksempel. Av dette teoremet følger det at en polynom p (x) er delbar med xa bare hvis a er en rot av polynomet, bare hvis og bare hvis p (a) = 0. Hvis C (x) er kvoten og R (x) er resten av inndelingen av hvilket som helst polynom p (x) med et binomial som vil være (xa), den numeriske verdien av p (x), for x = a, er lik resten av dens deling med xa. Så vil vi si at: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a)

Generelt er det mer praktisk å anvende Ruffinis regel enn å erstatte x for å oppnå resten av en divisjon av Xa. Derfor er resten av teorem den mest passende metoden for å løse problemer.

Røtter av polynomer

Røttene til et polynom er visse tall som gjør et polynom verdt null. Vi kan også si at de fulle røttene til et heltalskoeffisient polynom vil være delere av det uavhengige begrepet. Når vi løser et polynom lik null, får vi røttene til polynomet som løsninger.

Som egenskaper ved røttene og faktorene til polynomene kan vi si at nollene eller røttene til et polynom er av divisorene til det uavhengige uttrykket som tilhører polynomet.

Så for hver rot, for eksempel av typen x = a tilsvarer en binomial av typen (xa) . Det er mulig å uttrykke et polynom i faktorer hvis vi uttrykker det som et produkt av alle binomialene av typen (xa) som tilsvarer røttene, x = a, resultatet. Det må tas med i betraktningen at summen av eksponentene til binomialene er lik graden av polynomet, det bør også tas i betraktning at ethvert polynom som ikke har et uavhengig begrep, vil innrømme som rot x = 0, ellers vil det innrømme som en faktor x .

Vi vil kalle en polynom "prime" eller "irreducible" når det ikke er noen mulighet for å utarbeide den.

For å utdype emnet, må vi være tydelige på den grunnleggende teorem om algebra, som sier at det er nok at et polynom med en ikke-konstant variabel og sammensatte koeffisient, har like mange røtter som sin grad, siden røttene har sin mangfoldighet. Dette bekrefter at enhver algebraisk ligning av grad n har n komplekse løsninger . Et polynom av grad n har maksimalt n reelle røtter.

De komplekse røttene til et polynom med reelle koeffisienter blir kontinuerlig presentert i par, et polynom av en merkelig grad som har en minimalt reell rot. Vi må også huske på at et polynom ikke har reelle røtter. Et polynom som har reelle og distinkte røtter er en av de enkleste tilfellene vi kan finne.

I tilfelle de polynomiske koeffisientene er sammensatte, vil de komplekse røttene ikke nødvendigvis være relatert. Polynomier kan ha komplekse røtter og deres respektive konjugater. For eksempel har et polynom: en kompleks rot og dets tilsvarende konjugat. For å beregne en kompleks rot, må dens virkelige del defineres, siden den imaginære delen, mindre enn null, nås fra dens modul og dens virkelige del.

Vi vet at et tall "a" for eksempel er roten til et polynomialt P (x) hvis P (a) = 0 . For det gjenværende teoremet, hvis "a" er roten til polynomet P (x), vil det si at P (x) er delelig med x - a, siden resten av delingen av P (x) med x er null. Generelt kalles disse verdiene x1, x2, x3, etc.

Dette teoremet brukes for å bekrefte hvilken av verdiene som gir null hvile. Ruffinis metode brukes også for å finne røttene til et polynom og fortsetter således med å faktorere at binomialene til formen (x - a) er «a» et heltall.

Eksempler og øvelser

Algebraiske uttrykk

I dette avsnittet, i tillegg til å legge til øvelser på alle de matematiske operasjonene som er nevnt i hele innlegget, vil det bli nevnt en spesiell omtale av eksempler på multiplikasjon av et monomium enten med et uavhengig begrep (produkt av monomialer) eller av et annet monomial.

I det første tilfellet, i elementær algebra, sies det at verdien av det uavhengige begrepet må multipliseres med den monomiale koeffisienten, på denne måten er det mulig å oppnå et produkt, som tilskrives det bokstavlige monomet integralt. Eksempel: 3. 4xy2 = 12xy2

Når den monomale multiplikasjon er av et annet monomial (monomial produkt), er det mulig at begge begrepene involvert i multiplikasjonen blir identifisert som monomialer. I det spesielle tilfellet, som tidligere antydet i de teoretiske kildene, må skiltene multipliseres, pluss verdien av koeffisientene som har en plass i begrepene. Produktet som er oppnådd må registreres som et resultat, og deretter tildeles sidene som er observert i multiplikasjonsbegrepene, og deretter legge eksponentene til de som kommer fra samme base. Eksempel: 3 × 3 4 × 2 = (3, 4) x3 + 2 = 12 × 5

Når dette er forklart, fortsetter vi med å vise en serie løste øvelser relatert til algebraiske uttrykk, tilsetning av polynomer, subtraksjon av polynomer, monomiske øvelser, blant andre.

1. Algebraiske uttrykkøvelser:

  • X ^ 2 - 9 / 2X + 6

    (X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)

    X - 3/2

  • X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1

    (X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)

    X + 1 / X - 1

2. Summen av polynomer

  • 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
  • P (x) = 2 × 2 + 5x-6

    Q (x) = 3 × 2-6x + 3

    P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x + 3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6+ 3) = 5 × 2-x-3

3. Subtraksjon av polynomer

P (x) = 2 × 2 + 5x-6

Q (x) = 3 × 2-6x + 3

P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x + 3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9

4. Deling av polynomer

  • 8 y / 2 y = (8/2). (Y / y) = 4
  • 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 og
  • 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
  • -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v

5. av algebraiske uttrykk (binomial kvadrat)

  • (x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
  • (2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
  • 6. Hvil teoremet

    (x4 - 3 × 2 + 2) :( x - 3)

    R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56

    Ofte stilte spørsmål om algebraiske uttrykk

    Hva er algebraiske uttrykk?

    Det er et sett med bokstaver, symboler og tall som brukes i matematiske operasjoner.

    Les flere ioner

    Hva er operasjonene som utføres med polynomer?

    Polynomer legges til, trekkes fra, multipliseres og deles. Ulike teknikker kan brukes.

    Les mer

    Hva er den numeriske verdien av algebraiske uttrykk?

    Det er resultatet oppnådd etter å ha byttet ut variablene i uttrykket for verdiene for å fullføre operasjonene.

    Les mer

    Hvordan blir kvadratet til en binomial løst?

    Det er lik kvadratet for den første termin, og legger dobbeltproduktet av det første av det andre, pluss det andre torget. (a + b) 2 = a2 + 2 · a · b + b2

    Les mer

    Hvordan identifisere et monomial og et polynom?

    I monomialet er det bare en variabel, i stedet har polynomene mellom to og flere variabler.

    Les mer

    Anbefalt

    kolikk
    2020
    Sastre
    2020
    Akropolis
    2020